S曲线公式的空间含义

偶然昨天看到坏笨笨发的一篇关于自己用S7-1200中的差值运算来实现平滑运动控制的帖子，其中又链接到了看雪001以前发的一篇关于S曲线运动控制的帖子。在那个帖子中伊墨又用自然指数函数实现了平滑S曲线运动控制，而这个算法的来源又援引到CSDN中的一篇帖子。那篇帖子是在单片机中用这个算法实现步进电机的控制，而其中提到的基本S曲线公式 y=1/(1+e^-x) 是来自国外的文章。

我本行不搞运动控制，对这个领域所知甚少，虽然玩过V90，但是这个S曲线公式引起我的兴趣。因为其中能看出一些端倪，为什么这个函数会用于平滑过渡，它究竟讲述了什么。关于这个来谈谈随想。

这个公式 y=1/(1+e^-x)，稍微变一下就成了y=e^x/(e^x+1)。这其中包含3个成分e^x，e^x+1，e^x/(e^x+1)，逐步解释一下。

e^x的含义：n维空间中的线性存在X，它在实数轴上投影的大小就是e^x。比如，n维空间中的5在实数轴上投影的大小就是e的5次方，n维空间中的1在实数轴上投影的大小就是e的1次方，也就是e的自身。如果这个X线性增大，那e^x做为投影也是无限增大的。

e^x+1的含义：在实数轴上标定的单元空间1中，n维空间中的线性存在X从0开始持续增大，实数轴上投影也会从0开始不断增大。但无论它把这个原本的单元空间涨得多大，原来的1总会是其中的一个成分被带着。如果空间长的很大，原来那个1的作用就越来越小。如果X越来越小，投影会衰减为最初的单元空间1。

把e^x+1做为分母的含义：实数轴上的这个投影无论它变得多大，都被当作基准，当作一个新的单元空间来看待。

e^x/(e^x+1)的含义：n维空间中线性变化驱动的低维投影增长，在整个从无到有过程中，在实数轴上投影变化中的占比，也就是在新的单元空间中的占比。

e的本质是n维空间里的1。高数中有一种数学形式叫级数，就是那种从1到n无限多项式的形式。级数等效于微分。相比之下微分只是低维度的数学形式，而级数这种表达形式要高很多。自然常数e存在一种泰勒级数的展开形式，它很清晰的表明了e的n维本质。这段话纯粹是我自己说的，任何数学论述中都没有这个，可以被当成胡扯。具体不解释了，因为那又牵扯到n阶导数和阶乘的空间含义，而这导致最终会指向做为微积分基础概念的极限的理解，以及我们每天使用的阿拉伯数字体系的n维内秉和参照系的问题。如果说深了，会影响对于实数集的理解，以及在n维空间看无理数到底是什么的问题。那些我就更不敢说了。站在n维空间，所有的东西都需要重新被认知。而历史上的数学知识，很多都是诞生于低维度空间的观念。

e的指数函数广泛存在于各种成长和消失过程的表达形式中。其实现实中的这些过程模型可以被当作低维度投影，如果拉高维度来看，这些过程就可以被等效解释为对称n维空间中的线性过程。

各种过程都有时间常数这个概念，而各种时间常数的表达式中，都和e有关联。如果是生长的过程，其中就会有一项1-1/e；如果是消失的过程，其中就会有一项1/e。这背后的原因就是因为上面那些话。如果理解了会发现n维空间的观点可以轻易解释这种普遍存在的现象。包括解释概率现象也是一样。

平滑做为变化过程的形式描述，背后的本质指向空间中的对称性。空间的维度复杂性让对称性又在不同的层面呈现为不同的面貌。均衡的过程在高维度上都是对称的，与之相反的是那些激荡骤变的过程，那又涉及到远离平衡态的动力学和混沌自组织那些了。

其实自然常数e就是讲述了平行n维空间的对称性。与之对应的旋转n维空间的对称性则是由π来描述的。这两者结合到一起，就自然牵扯到欧拉公式的空间含义。这也是为什么欧拉公式在几何上都被表达为螺旋线，这个螺旋线的横剖面是三角函数的矢量空间。

刚性系统（比如钢铁硬碰硬构成的东西）可以在很大程度上被看作对称空间，能量在这样的体系内传播，就可以按照对称的原则来处理。非刚性系统（比如柔性负载或液体，比如人坐电梯），整体空间对称性已经被分割，那么用分段控制和加加速或局部线性就可以。

写这些是记录想法。对大家有没有启发或者负面作用不好说。

---------------------------------------------------------------------------------------------------

看大家不理解我说的这个n维空间，解释一下。

大家都见过从0到n的那种无限多项式的数学形式，例如下面这个：

f（x）=e^x= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x^2/ 2!+...+ fn（0）x^n/n!
（不好输入，最后这个fn是指n阶导数的那个符号，n是右上角的角标）

这种多项式中每一项都相似，这就是一种对称性。然而每一项因为在从0到n这个序列中的所处位置不同，每一项的内容有区别，这就是维度的不同。

多项式中的每一项都可以被看作来自某个单独维度的东西在X轴上的投影，那么这n多个单项就代表了来自n个维度的投影在X轴上的叠加。因为这n维空间是对称的，也就是每个维度都遵循相同的法则，所以多项式的每一项在形式规则上都一样。这n多项是直接线性相加在一起的，这就代表了来自平行空间的投影叠加。所以n维存在的表达形式是一个集合。这和通常我们用x，y，z组合来表达三维实体空间的道理类似。

计算就是投影，算法的结果都是X轴上的值。

这种多项式，如果结果收敛，它的结果就等效于微分和极限所描述的那种无限微观逼近的情景。

大家有没有想过，其实我们平时随手写出的一串数字，都是有很多维度的，每一个数位就是一个维度。比如3.1415926，这个数字有8个维度。那如果是无理数呢？是不是有n个维度。

说到这，大家也许觉得我不过是换汤不换药，搞了个说法噱头。其实看问题的角度已经完全不一样了。

传统讲述微积分的时候，是如何描述“极限”这类趋向微观的概念的？如果用n维空间投影的概念来理解“逼近”的本质，那么就可以用n维空间的有限，来构造数轴上的无限。那么这样的话，站在n维空间的角度，该如何看待实数呢？通常所说的无理数，会不会是n维空间中的有理数在X轴上的身影呢？当然这样的n维空间会发生弯曲，不是全对称的。爱因斯坦在广义相对论中把引力场等效为惯性存在导致的空间弯曲，有点类似的意思。

这些会导致重新思考"无限"的含义。说白了，"无限"不是数字系统本身固有的，而是可以用数字来描述的物体，它所身处的空间的复杂度造成的。数学中有很多与“无穷”相关的问题，这种东西如果只在低维度的现象上解释，是根本说不清的。

如果明白上面说的，时间常数中的1-1/e和1/e的空间含义就非常明朗了。如果熟练一点的话，可以靠直觉去推断自然指数函数类的数学模型的现实含义。这才是最重要的，我平时比较懒，不愿动手计算，有些时候就用这样的方式在脑子里推演过程控制中的变化模式。它有这个用处。

现实工作中，上面说这一堆并不是用来自己去建造数学模型的。各个领域中的数学模型都有人弄出来了。这些对理解数学模型非常有帮助，会发现各种不同领域的各种不同问题的数学模型之间有很多相似性。这些会帮助触类旁通、举一反三，换角度去扩展理解问题。上面说的这个S曲线公式，看到它的时候脑子里就有了动态的画面，但我却花了好一会儿去琢磨如何用大白话尽量通俗的去用嘴说这个隐藏在精确符号背后的含义。很讨厌抽象这个词儿，说不清就是局限造成的，局限就接不了地气。其实我也没说清。

---------------------------------------------------------------------------------------------

从表面形式上看，造成S曲线效果的算法必须具有自我抑制的特点，也就是输出越小的时候，自我抑制越小（也就是负值越大，抑制变成助推）；输出越大的时候，抑制作用越大。这类算法可以很多。

在起到这类作用的函数中，自然指数形式比较特殊，因为它的n阶导数还是自身，也就是任何层面的变化率，都会是平滑的且基本特征不变。

为什么自然指数的高阶导数还是自身，这个固然可以用微分推导表达出来，但那依然无法给出透彻的解释，这时候会用到上面说的n维空间。无论在哪个层面，对称性是不变的，而e是局部观察者眼中的对称性遍历，而这个模式本身也是对称的。

这个n维空间并不是只停留在纸面上的东西，在任何实际存在中都可以映射，否则e的奇妙就不会被认可。只是还没想好如何通过生活实例来通俗解释这个，并且这种通俗描述还要具有准确的数学逻辑性。我觉得神经网络的算法也会具有这种特点（果不其然，S型神经元中用这个算法做为激活函数）。

任何存在，大的都是由小的构成的，小的由更小的构成。无论实的虚的、动的静的、活的死的、个人团体或社会皆如此。这涉及到我们是如何在某个空间范围或层面，认定局部存在的有和无的，而这种认定的形成过程往往是意识不到和难以洞察的。1-1/e和1/e的分水岭。

上面总提到对称性这个词，如果把纯逻辑中的对称性严格投射到现实中，它代表死亡，不代表好坏。

-----------------------------------------------------------------------

如果在网上查看关于自然常数的含义，都是讲解自然指数在各种领域场景的分析、应用和结论。它们都有一个共同点，那就是在给定的边界内，相同的变化规则，一遍又一遍的重复，数量大了之后，最后发现结局就会与63%（1-1/e）或37%（1/e）这个数字相遇。

这每一遍就是一个维度。所以概率其实也是n维空间的斑斓折射。重复的去做一个事情，就是在为这个事情构造n维空间，就是在不断加深这个存在的维度。追求极限的过程就是在创造维度。

维度就是视野，每一个视野都是局限的、不同的。但是维度对称性带来的相似是非常欺骗眼球和观念的，会让人不知不觉就认为一切都是同一的、不变的，所以事情就变得绝对和想当然。比如，大家认为数学是完美严格无瑕疵的，数学空间中的一个抽象的点肯定是精确的，其实不然，这个点的存在与否也受到1-1/e的约束。没有绝对视野。

过程是由周期和单元组成的。程序和执行机构是一遍一遍的轮转，每一遍的数据都不同，过程和结局是一点一点累积出来的。路是一步一步走出来的，但每步都不一样。日子是一天一天过，每天都不同。但是人们习惯于认为这些细微的局部都存在于一个视野之中，也就是世界肯定只有一个。

任何头脑中的知识都是时间中的积分，岁月的累积，都是一遍一遍形成出来的。做一遍和做过了n遍，认识就不同了，但这种效果都是落在同一个主观概念上。只是我们不太能区分其中哪个细微成分来自哪一次实践。主观上的时间，就是记忆中的周期计数。

这个问题深入说，就涉及到了观察的局限，眼见的虚实，空间的相对性问题。这与每个人的经历和选择有很大关系，话题很大，不适合讨论，也不是讨论能有用的。

别说工控是穷行业，多少人能看懂！看懂的应该都不穷 可惜我看不懂

最头疼数学了！好好学习

好像我学的数学里面都没有出现过“n维空间”或者类似的字眼去解释一些东西。这里绕不过弯来了。

用高数的深奥理论去阐释n维空间，楼主看的比较透彻，这么看来自然常数e会不会是时间和空间维度关联的某个纽带

看不出和n维空间有啥关系。

哈哈，关于s曲线的帖子我大概写过不止一贴，涉及运动控制时的s曲线编程，曲线理论上可以用这个函数来描述，但实际的计算只需要控制jerk值即可，非常简单！

现在疫情增长病例就是一个s曲线，今日新增病例相对于昨日新增病例数的差值就是jerk，差值为负值，意味着拐点。

s曲线有着广泛的意义，并不仅仅限于运动控制，如果说它的空间意义，我首先想到的是自动扶梯，商场、机场、火车站和地铁随处可见的自动扶梯，电机以一种速度运行，但速度在竖直方向上是自然的s曲线。

谢谢分享，需要好好消化。

关于S形曲线的话题总是能引起我的关注，它不仅仅是数学问题。

今天是小学的期中考试时间，我家那头神兽下午考了两门课，先考语文，再考数学。数学考了满分，90分钟考试时间只用了45分钟就交卷了，虽然老师在群里再三强调不要提早交卷，小家伙还是信心满满的提前交卷，等不及要跟我击掌！积极的心态是不能打击的，提前交卷就提前交吧，于是我再给她出了一道“数学题”，题目是这样的：

   说某位同学很喜欢玩弹珠（放进游戏机里打怪），一元钱可以买10颗弹珠，买一百颗够玩一学期了！但这位同学要不同颜色的弹珠，每样颜色都买了10颗，一共买了100颗。这10种颜色的弹珠外观都相同，只是某种颜色的珠子比其它颜色的珠子每颗轻1克，其它颜色的珠子都是10克，只有某种颜色的珠子是9克。这位同学家里有一个称药材的克重秤，如何称一次就找出是哪种颜色的珠子比其它颜色轻呢？

    之所以问小朋友这个问题，是因为前面的语文考试有一道关联词的试题：1，琥珀非常美丽；2，琥珀的形成需要上万年的时间；请把这两句话用关联词语连接起来。小朋友的答案是“因为……所以……”，我是忍住没告诉她“虽然……但是……”会更合适一点。

    这道语文题目跟上面那道数学题又有什么关系呢？

     算法比解算过程更重要！算法是逻辑，解算过程可以交给计算机，算法不是最优的，解算过程就算完全正确，结果也并不完美。拿上面那道“数学题”来说吧，可以1号珠子取1颗，2号珠子取2颗……，10号珠子取10颗，一共55颗珠子，如果每颗珠子都是10克，总的质量是550克，称量质量少了几克就是几号珠子轻，只需要称一次就能解决问题，比单独称量每种颜色的测量次数少得多。

高等数学忘了吧！楼主的数学功底还是很OK的，都介绍起泰勒级数公式了，我看到了才想起，也忘了。

忘记了吧，不容易秃

以前学的  早就忘到九霄云外了

学习收藏了

一切都离不开数学

想起来把S曲线的核心算法逻辑放这

• 不一定放在中断OB中，普通OB也可以。当然最好是中断OB。
  

• 每个扫描周期，用RD_SYS_T来获得系统当前时间，和上一周期系统时间记录之差，得出扫描周期的时间。

• 用( 结束值 -  起始值) / 加速度，算出渐变需要的时间。加速度值自己限定。

• 每个扫描周期累加起来，当超过了所需时间，S渐变计算就结束了。

• 变化幅度 = 结束值 - 起始值

• 加速因子和自然常数都是预设常量。

• 加速因子的值（这里默认10或12）越大，S曲线越陡峭，曲线首尾的步幅越细密，中间段步幅越大。

• 计算中当两个数值的差小于一个精度（比如1.0E-5   精度0.00001），就代表目标达到了。
  

厉害厉害，666，

可以用S曲线算法把线性斜坡的转折点做倒角处理。

圆滑区和线性区的范围、整体的渐变速度、步幅的加速度，都可控可变。可以用来建立合适的过程变化方式。

这张图片是刻画首尾的半S算法。

变化率

美国新冠疫情的增长曲线也是典型的S曲线，中美其实都明白S曲线的意义，不同的是中国的做法是抑制绝对增长，而美国的做法是促使绝对值增长，它要尽快实现所谓的“全民免疫”，作为带头大哥，美国总统和第一夫人以亲身实践带领全世界朝着这个方向奋力前进，科学是个好东西，但要看掌握在谁手里。

是否是好帖不敢说，但肯定是我混论坛以来最难看懂的帖子

感觉，e本身在楼主的概念中就是代表n维空间……

无论如何，楼主的知识面很广，基本功扎实

这个帖子，我还需要慢慢消化